Формулы для дифференцирования неявно заданных функций. Производная неявно заданной функции. §7 Частные производные неявно заданной функции нескольких переменных
Будем учиться находить производные функций, заданных неявно, то есть заданных некоторыми уравнениями, связывающими между собой переменные x и y . Примеры функций, заданных неявно:
,
Производные функций, заданных неявно, или производные неявных функций, находятся довольно просто. Сейчас же разберём соответствующее правило и пример, а затем выясним, для чего вообще это нужно.
Для того, чтобы найти производную функции, заданной неявно, нужно продифференцировать обе части уравнения по иксу. Те слагаемые, в которых присутствует только икс, обратятся в обычную производную функции от икса. А слагаемые с игреком нужно дифференцировать, пользуясь правилом дифференцирования сложной функции, так как игрек - это функция от икса. Если совсем просто, то в полученной производной слагаемого с иксом должно получиться: производная функции от игрека, умноженная на производную от игрека. Например, производная слагаемого запишется как , производная слагаемого запишется как . Далее из всего этого нужно выразить этот "игрек штрих" и будет получена искомая производная функции, заданной неявно. Разберём это на примере.
Пример 1.
Решение. Дифференцируем обе части уравнения по иксу, считая, что игрек - функция от икса:
Отсюда получаем производную, которая требуется в задании:
Теперь кое-что о неоднозначном свойстве функций, заданных неявно, и почему нужны особенные правила их дифференцирования. В части случаев можно убедиться, что подстановка в заданное уравнение (см. примеры выше) вместо игрека его выражения через икс приводит к тому, что это уравнение обращается в тождество. Так. приведённое выше уравнение неявно определяет следующие функции:
После подстановки выражения игрека в квадрате через икс в первоначальное уравнение получаем тождество:
.
Выражения, которые мы подставляли, получились путём решения уравнения относительно игрека.
Если бы мы стали дифференцировать соответствующую явную функцию
то получили бы ответ как в примере 1 - от функции, заданной неявно:
Но не всякую функцию, заданную неявно, можно представить в виде y = f (x ) . Так, например, заданные неявно функции
не выражаются через элементарные функции, то есть эти уравнения нельзя разрешить относительно игрека. Поэтому и существует правило дифференцирования функции, заданной неявно, которое мы уже изучили и далее будем последовательно применять в других примерах.
Пример 2. Найти производную функции, заданной неявно:
.
Выражаем игрек штрих и - на выходе - производная функции, заданной неявно:
Пример 3. Найти производную функции, заданной неявно:
.
Решение. Дифференцируем обе части уравнения по иксу:
.
Пример 4. Найти производную функции, заданной неявно:
.
Решение. Дифференцируем обе части уравнения по иксу:
.
Выражаем и получаем производную:
.
Пример 5. Найти производную функции, заданной неявно:
Решение. Переносим слагаемые в правой части уравнение в левую часть и справа оставляем ноль. Дифференцируем обе части уравнения по иксу.
Производная сложной функции. Полная производная
Пусть z=ƒ(х;у) - функция двух переменных х и у, каждая из которых является функцией независимой переменной t: х = x(t), у = y(t). В этом случае функция z = f(x(t);y(t)) является сложной функцией одной независимой переменной t; переменные х и у - промежуточные переменные.
Если z = ƒ(х;у) - дифференцируемая в точке М(х;у) є D функция и х = x(t) и у = y(t) - дифференцируемые функции независимой переменной t, то производная сложной функции z(t) = f(x(t);y(t)) вычисляется по формуле
Дадим независимой переменной t приращение Δt. Тогда функции х = = x(t) и у = y{t) получат приращения Δх и Δу соответственно. Они, в свою очередь, вызовут приращение Az функции z.
Так как по условию функция z - ƒ(х;у) дифференцируема в точке М(х; у), то ее полное приращение можно представить в виде
где а→0, β→0 при Δх→0, Δу→0 (см. п. 44.3). Разделим выражение Δz на Δt и перейдем к пределу при Δt→0. Тогда Δх→0 и Δу→0 в силу непрерывности функций х = x(t) и у = y(t) (по условию теоремы - они дифференцируемые). Получаем:
Частный случай: z=ƒ(х;у), где у=у(х), т. е. z=ƒ(х;у(х)) - сложная функция одной независимой переменной х. Этот случай сводится к предыдущему, причем роль переменной t играет х. Согласно формуле (44.8) имеем:
Формула (44.9) носит название формулы полной производной.
Общий случай: z=ƒ(х;у), где x=x(u;v), у=у(u;v). Тогда z= f(x(u;v);y(u;v)) - сложная функция независимых переменных u и v. Ее частные производные можно найти, используя формулу (44.8) следующим образом. Зафиксировав v, заменяем в ней соответствующими частными производными
Как известно, неявно заданная функция одной переменной определяется так: функция у независимой переменной x называется неявной, если она задана уравнением, не разрешенным относительно y:
Пример 1.11.
Уравнение
неявно задаёт две функции:
А уравнение
не задаёт никакой функции.
Теорема 1.2 (существования неявной функции).
Пусть функция z =f(х,у) и ее частные производные f"x и f"y определены и непрерывны в некоторой окрестности UM0 точки M0(x0y0). Кроме того, f(x0,y0)=0 и f"(x0,y0)≠0, тогда уравнение (1.33) определяет в окрестности UM0 неявную функцию y= y(x), непрерывную и дифференцируемую в некотором интервале D с центром в точке x0, причем y(x0)=y0.
Без доказательства.
Из теоремы 1.2 следует, что на этом интервале D:
то- есть имеет место тождество по
где "полная" производная находится согласно (1.31)
То есть (1.35) дает формулу нахождения производной неявно заданной функции одной переменной x .
Аналогично определяется и неявная функция двух и более переменных.
Например, если в некоторой области V пространства Oxyz выполняется уравнение:
то при некоторых условиях на функцию F оно неявно задаёт функцию
При этом по аналогии с (1.35) ее частные производные находятся так:
Пример 1.12. Считая, что уравнение
неявно задаёт функцию
найти z"x, z"y.
поэтому согласно (1.37) получаем ответ.
11.Использование частных производных в геометрии.
12.Экстремумы функции двух переменных.
Понятие максимума, минимума, экстремума функции двух переменных аналогичны соответствующим понятиям функции одной независимой переменной (см. п. 25.4).
Пусть функция z = ƒ(х;у) определена в некоторой области D, точка N(x0;y0) Î D.
Точка (х0;у0) называется точкой максимума функции z=ƒ(х;у), если существует такая d-окрестность точки (х0;у0), что для каждой точки (х;у), отличной от (хо;уо), из этой окрестности выполняется неравенство ƒ(х;у)<ƒ(хо;уо).
Аналогично определяется точка минимума функции: для всех точек (х; у), отличных от (х0;у0), из d-окрестности точки (хо;уо) выполняется неравенство: ƒ(х;у)>ƒ(х0;у0).
На рисунке 210: N1 - точка максимума, а N2 - точка минимума функции z=ƒ(x;у).
Значение функции в точке максимума (минимума) называется максимумом (минимумом) функции. Максимум и минимум функции называют ее экстремумами.
Отметим, что, в силу определения, точка экстремума функции лежит внутри области определения функции; максимум и минимум имеют локальный (местный) характер: значение функции в точке (х0;у0) сравнивается с ее значениями в точках, достаточно близких к (х0; у0). В области D функция может иметь несколько экстремумов или не иметь ни одного.
46.2. Необходимые и достаточные условия экстремума
Рассмотрим условия существования экстремума функции.
Теорема 46.1 (необходимые условия экстремума). Если в точке N(x0;y0) дифференцируемая функция z=ƒ(х;у) имеет экстремум, то ее частные производные в этой точке равны нулю: ƒ"x(х0;у0)=0, ƒ"y(х0;у0)=0.
Зафиксируем одну из переменных. Положим, например, у=у0. Тогда получим функцию ƒ(х;у0)=φ(х) одной переменной, которая имеет экстремум при х = х0. Следовательно, согласно необходимому условию экстремума функции одной переменной (см. п. 25.4), φ"(х0) = 0, т. е. ƒ"x(х0;y0)=0.
Аналогично можно показать, что ƒ"y(х0;у0) = 0.
Геометрически равенства ƒ"x(х0;у0)=0 и ƒ"y(х0;у0)=0 означают, что в точке экстремума функции z=ƒ(х;у) касательная плоскость к поверхности, изображающей функцию ƒ(х;у), параллельна плоскости Оху, т. к. уравнение касательной плоскости есть z=z0 (см. формулу (45.2)).
Замечание. Функция может иметь экстремум в точках, где хотя бы одна из частных производных не существует. Например, функцияимеет максимум в точке О(0;0) (см. рис. 211), но не имеет в этой точке частных производных.
Точка, в которой частные производные первого порядка функции z ≈ ƒ(х; у) равны нулю, т. е. f"x=0, f"y=0, называется стационарной точкой функ ции z.
Стационарные точки и точки, в которых хотя бы одна частная производная не существует, называются критическими точками.
В критических точках функция может иметь экстремум, а может и не иметь. Равенство нулю частных производных является необходимым, но не достаточным условием существования экстремума. Рассмотрим, например, функцию z = ху. Для нее точка О(0; 0) является критической (в ней z"x=у и z"y - х обращаются в ноль). Однако экстремума в ней функция z=ху не имеет, т. к. в достаточно малой окрестности точки О(0; 0) найдутся точки для которых z>0 (точки I и III четвертей) и z < 0 (точки II и IV четвертей).
Таким образом, для нахождения экстремумов функции в данной области необходимо каждую критическую точку функции подвергнуть дополнительному исследованию.
Теорема 46.2 (достаточное условие экстремума). Пусть в стационарной точке (хо;уо) и некоторой ее окрестности функция ƒ(х;у) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Вычислим в точке (х0;у0) значения A=f""xx(x0;y0), В=ƒ""xy(х0;у0), С=ƒ""уy(х0;у0). Обозначим
1. если Δ > 0, то функция ƒ(х;у) в точке (х0;у0) имеет экстремум: максимум, если А < 0; минимум, если А > 0;
2. если Δ < 0, то функция ƒ(х;у) в точке (х0;у0) экстремума не имеет.
В случае Δ = 0 экстремум в точке (х0;у0) может быть, может не быть. Необходимы дополнительные исследования.
ЗАДАЧИ
1.
Пример. Найти промежутки возрастания и убывания функции . Решение. Первым шагом является нахождение обрасти определения функции . В нашем примере выражение в знаменателе не должно обращаться в ноль, следовательно, . Переходим к производной функции: Для определения промежутков возрастания и убывания функции по достаточному признаку решаем неравенства и на области определения. Воспользуемся обобщением метода интервалов. Единственным действительным корнем числителя является x = 2 , а знаменатель обращается в ноль при x = 0 . Эти точки разбивают область определения на интервалы, в которых производная функции сохраняет знак. Отметим эти точки на числовой прямой. Плюсами и минусами условно обозначим интервалы, на которых производная положительна или отрицательна. Стрелочки снизу схематично показывают возрастание или убывание функции на соответствующем интервале. Таким образом, и . В точке x = 2 функция определена и непрерывна, поэтому ее следует добавить и к промежутку возрастания и к промежутку убывания. В точке x = 0 функция не определена, поэтому эту точку не включаем в искомые интервалы. Приводим график функции для сопоставления с ним полученных результатов. Ответ: функция возрастает при , убывает на интервале (0; 2] .
2.
Примеры .
Установить интервалы выпуклости и вогнутости кривой y = 2 – x 2 .
Найдем y "" и определим, где вторая производная положительна и где отрицательна. y " = –2x , y "" = –2 < 0 на (–∞; +∞), следовательно, функция всюду выпукла.
y = e x . Так как y "" = e x > 0 при любых x , то кривая всюду вогнута.
y = x 3 . Так как y "" = 6x , то y "" < 0 при x < 0 и y "" > 0 при x > 0. Следовательно, при x < 0 кривая выпукла, а при x > 0 вогнута.
3.
4. Дана функция z=x^2-y^2+5x+4y, вектор l=3i-4j и точка А(3,2). Найти dz/dl (я так понял производная функции по направлению вектора), gradz(A), |gradz(A)|. Найдем частные производные: z(по х)=2x+5 z(по y)=-2y+4 Найдем значения производных в точке А(3,2): z(по х)(3,2)=2*3+5=11 z(по y)(3,2)=-2*2+4=0 Откуда, gradz(A)=(11,0)=11i |gradz(A)|=sqrt(11^2+0^2)=11 Производная функции z по направлению вектора l: dz/dl=z(по х)*cosa+z(по у)*cosb, a,b-углы вектора l с осями координат. cosa=lх/|l|, cosb=ly/|l|, |l|=sqrt(lx^2+ly^2) lx=3, ly=-4, |l|=5. cosa=3/5, cosb=(-4)/5. dz/dl=11*3/5+0*(-4)/5=6,6.
Несомненно, в нашем сознании образ функции ассоциируется с равенством и соответствующей ему линией – графиком функции. Например, - функциональная зависимость, графиком которой является квадратичная парабола с вершиной в начале координат и направленными вверх ветвями; - функция синуса, известная своими волнами.
В этих примерах в левой части равенства находится y , а в правой части – выражение, зависящее от аргумента x . Другими словами, имеем уравнение, разрешенное относительно y . Представление функциональной зависимости в виде такого выражения называется явным заданием функции (или функцией в явном виде ). И этот тип задания функции является для нас наиболее привычным. В большинстве примеров и задач нам предстают именно явные функции. Про дифференцирование функций одной переменной, заданных в явном виде, мы уже в деталях поговорили.
Однако, функция подразумевает соответствие между множеством значений величины x и множеством значений y , причем это соответствие НЕ обязательно устанавливается какой-либо формулой или аналитическим выражением. То есть, существует множество способов задания функции помимо привычного .
В данной статье мы рассмотрим неявные функции и способы нахождения их производных . В качестве примеров функций, заданных неявно, можно привести или .
Как Вы заметили, неявная функция определяется соотношением . Но не все такие соотношения между x и y задают функцию. Например, ни одна пара действительных чисел x и y не удовлетворяет равенству , следовательно, это соотношение неявную функцию не задает.
Может неявно определять закон соответствия между величинами x и y , причем каждому значению аргумента x может соответствовать как одно (в этом случае имеем однозначную функцию) так и несколько значений функции (в этом случае функцию называют многозначной). К примеру, значению x = 1 соответствует два действительных значения y = 2 и y = -2 неявно заданной функции .
Неявную функцию привести к явному виду далеко не всегда возможно, иначе не пришлось бы дифференцировать сами неявные функции. Например, - не преобразовывается к явному виду, а - преобразовывается.
Теперь к делу.
Чтобы найти производную неявно заданной функции, необходимо продифференцировать обе части равенства по аргументу x , считая y – функцией от x , и после этого выразить .
Дифференцирование выражений, содержащих x и y(x) , проводится с использованием правил дифференцирования и правила нахождения производной сложной функции . Давайте сразу подробно разберем несколько примеров, чтобы дальше не было вопросов.
Пример.
Продифференцировать выражения по x , считая y функцией от x .
Решение.
Так как y – это функция от x , то - это сложная функция. Ее можно условно представить как f(g(x)) , где f – функция возведения в куб, а g(x) = y . Тогда, по формуле производной сложной функции имеем: .
При дифференцировании второго выражения выносим константу за знак производной и действуем как в предыдущем случае (здесь f
– функция синуса, g(x) = y
):
Для третьего выражения применяем формулу производной произведения:
Последовательно применяя правила, продифференцируем последнее выражение:
Вот теперь можно переходить к нахождению производной неявно заданной функции, для этого все знания есть.
Пример.
Найти производную неявной функции .
Решение.
Производная неявно заданной функции всегда представляется в виде выражения, содержащего x
и y
: . Чтобы прийти к такому результату, продифференцируем обе части равенства:
Разрешим полученное уравнение относительно производной:
Ответ:
.
ЗАМЕЧАНИЕ.
Для закрепления материала решим еще пример.